12.2 趋势、季节与残差分解¶
小率把奶茶店半年的销量折线拿给均哥看。折线一会儿上升，一会儿每周重复波动，还有几天突然很高。他想知道：到底是店越来越火，还是只是周末更忙？
一条线里混了这么多东西，我应该先解释哪一个？
先拆开。趋势看长期方向，季节看固定周期，残差看剩下的异常和噪声。
12.2.1 分解是把混合声音分轨¶
时间序列分解 (Time Series Decomposition) 的目标，是把原序列拆成更容易解释的部分。
加法分解适合季节波动幅度大致稳定的序列：
\[
y_t = T_t + S_t + R_t
\]
乘法分解适合“水平越高，波动越大”的序列：
\[
y_t = T_t \times S_t \times R_t
\]
实际分析时，常把乘法关系转成对数后的加法关系：
\[
\log y_t = \log T_t + \log S_t + \log R_t
\]
12.2.2 季节调整让长期变化更清楚¶
如果只看原始销量，周末高峰会遮住长期趋势。季节调整 (Seasonal Adjustment) 会先去掉重复周期：
\[
\text{季节调整序列} = y_t - S_t
\]
这样再看趋势，就更容易回答“这家店是不是慢慢变火”。
什么时候先做季节调整
想比较不同月份、不同星期的长期水平时，先季节调整。
想预测真实未来销量时，不能只保留季节调整后的序列，还要把季节项加回去。
12.2.3 STL：更稳健的现代分解¶
STL (Seasonal-Trend decomposition using Loess) 是常用的分解方法。它用局部平滑估计趋势和季节，对异常点也比较稳健。
import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.seasonal import STL
rng = np.random.default_rng(12)
dates = pd.date_range("2022-01-01", periods=60, freq="MS")
t = np.arange(len(dates))
sales = pd.Series(
180 + 2.5 * t + 24 * np.sin(2 * np.pi * t / 12) + rng.normal(0, 8, len(t)),
index=dates,
name="月销量",
)
result = STL(sales, period=12, robust=True).fit()
parts = pd.DataFrame({
"原序列": sales,
"趋势": result.trend,
"季节": result.seasonal,
"残差": result.resid,
})
print(parts.tail().round(1))
完整脚本见：
12.2.4 残差不是垃圾桶¶
分解之后，残差应该像“没有明显结构的波动”。如果残差里还看得出趋势、周期或连续偏高偏低，说明分解还没把结构解释完。
残差里还有图案，就别急着预测
残差不是随便剩下什么都可以。如果残差仍然有自相关，后续模型还需要继续解释这些时间结构。
小率的笔记本
分解不是为了把图画得漂亮，而是为了分清问题。
趋势回答“长期变没变”，季节回答“固定周期怎么重复”，残差回答“剩下的异常和噪声”。
解释和预测之前，先把这三件事分开看。