4.2 离散型分布¶
小率把社团活动记录表摊在桌上：投篮是否命中、10 次答题答对几题、第一次抽到中奖卡要抽几次、奶茶店一小时来了多少单。它们看起来是四个生活问题，但背后都有一个共同点：结果数得清。
哪一种分布适合这张记录表
同样是离散随机变量，问题结构不同，常用分布也不同。先看“一次成败”“固定次数”“等到第一次”“单位时间次数”四个关键词。
4.2.1 一次成败看 Bernoulli¶
如果我只记录“这次投篮进没进”，它只有两个结果。
这就是 Bernoulli 分布：成功记 1，失败记 0。
若 \(X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)\)，则：
\[
P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p
\]
它的期望和方差是：
\[
E[X]=p,\qquad Var(X)=p(1-p)
\]
4.2.2 固定次数看 Binomial¶
如果小率投 10 次篮，想记录命中次数 \(X\)，每次命中概率近似为 \(p\)，且每次相互独立，那么：
\[
X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)
\]
\[
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]
Bernoulli 是一次，Binomial 是很多次 Bernoulli 加起来？
非常好。固定做 $n$ 次，数成功次数，就是 Binomial。
4.2.3 等到第一次看 Geometric¶
有时问题不是“10 次里成功几次”，而是“第一次成功要等几次”。例如抽卡第一次抽中，或者第一次接到有效电话。
若每次成功概率是 \(p\)，\(X\) 表示第一次成功发生在第几次：
\[
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,3,\dots
\]
别把两个问题混在一起
“10 次里成功几次”是 Binomial；“第几次才第一次成功”是 Geometric。它们都和成功概率 \(p\) 有关，但问法不一样。
4.2.4 单位时间次数看 Poisson¶
奶茶店一小时来多少单、客服中心一分钟接到多少电话、某路口一天发生多少次小事故，这类“单位时间或单位区域内的次数”常用 Poisson 分布。
若 \(X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)\)：
\[
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
\]
其中 \(\lambda\) 表示平均次数。
4.2.5 Binomial 什么时候像 Poisson¶
当 \(n\) 很大、\(p\) 很小，但 \(\lambda=np\) 稳定时，Binomial 分布会接近 Poisson 分布。这常用于“很多次机会，每次概率很小”的场景。
所以 Poisson 不是凭空来的，它像是很多小概率事件堆出来的。
对。很多“罕见但机会很多”的计数，都可以先想到 Poisson。
4.2.6 用 Python 计算四种概率¶
from scipy import stats
print("一次投篮命中:", stats.bernoulli(p=0.7).pmf(1))
print("10 次命中 7 次:", stats.binom(n=10, p=0.7).pmf(7))
print("第 3 次才成功:", stats.geom(p=0.2).pmf(3))
print("一小时来 25 单:", stats.poisson(mu=20).pmf(25))
三秒判断法
- 一次成败：Bernoulli
- 固定次数成功数：Binomial
- 第一次成功等待次数：Geometric
- 单位时间或区域次数：Poisson
小率的笔记本
- 离散分布描述数得清的取值。
- Bernoulli 是一次成败，Binomial 是固定次数成功数。
- Geometric 问第一次成功要等多久。
- Poisson 问单位时间或单位区域里出现多少次。