3.6 独立性¶
咖啡店里有一个小抽奖：先抛硬币，再从袋子里抽一颗珠子。抽到红珠就送贴纸。
小率问：“如果硬币是正面，会不会影响抽到红珠的概率？”
均哥把桌上的道具分成两组：左边是一枚硬币配一个固定珠袋；右边是硬币正反面分别对应两个不同珠袋。
这一节只用这个抽奖游戏讲独立性。核心问题很朴素：知道一件事发生以后，另一件事的概率有没有改变？
3.6.1 独立不是“没关系”，而是概率没变¶
事件 \(A\) 和 \(B\) 独立（Independent），意思不是一句模糊的“它们好像没关系”，而是一个可以检查的条件：
知道 \(B\) 发生以后，\(A\) 的概率没有改变。
在左边的游戏里：
- \(A\)：硬币正面。
- \(B\)：抽到红珠。
如果抛硬币不会改变袋子，袋子也不会改变硬币，那么知道硬币正面，并不会改变抽到红珠的概率。
假设固定珠袋里有 4 颗红珠、6 颗蓝珠：
就算已经知道硬币是正面，袋子仍然是同一个袋子：
所以在这个规则下，硬币结果和抽到红珠是独立的。
3.6.2 独立也可以写成乘法¶
如果 \(A\) 和 \(B\) 独立，那么：
比如硬币正面的概率是 0.5，抽到红珠的概率是 0.4，而且两件事独立，则：
这句话的直觉是：先发生 A 的机会是 0.5；在 A 已经发生后，B 的机会仍然是 0.4，所以一路相乘。
什么时候可以直接相乘
只有确认独立时，才可以把 \(P(A\cap B)\) 直接写成 \(P(A)P(B)\)。如果规则让前一步影响后一步，就要改用条件概率。
3.6.3 规则一改，独立性就可能消失¶
右边的游戏里，规则变了：
- 硬币正面：从红珠很多的袋子里抽。
- 硬币反面：从蓝珠很多的袋子里抽。
假设：
| 硬币结果 | 使用的袋子 | 红珠比例 |
|---|---|---|
| 正面 | 红珠多的袋子 | 0.8 |
| 反面 | 蓝珠多的袋子 | 0.2 |
这时，知道硬币正面，就会提高抽到红珠的概率；知道硬币反面，就会降低抽到红珠的概率。于是硬币结果和红珠事件不独立。
如果硬币公平，那么总体抽到红珠的概率是：
但：
因为 \(0.8\ne0.5\)，所以不独立。
3.6.4 互斥和独立不要混成一件事¶
在珠袋游戏里，“抽到红珠”和“抽到蓝珠”是互斥的：一次只抽一颗珠子，不可能同时既红又蓝。
但互斥通常不是独立。为什么？
设：
- \(R\)：抽到红珠。
- \(L\)：抽到蓝珠。
如果已经知道抽到蓝珠，那么抽到红珠的概率立刻变成 0：
这显然改变了 \(P(R)\)。所以只要两个互斥事件本来都有可能发生，它们就不是独立的。
| 关系 | 关键问题 | 在抽奖故事里的理解 |
|---|---|---|
| 独立 | 知道一个，另一个概率变不变 | 硬币不改变袋子时，硬币和红珠独立 |
| 不独立 | 知道一个，另一个概率会改变 | 硬币决定袋子时，硬币和红珠不独立 |
| 互斥 | 两个事件能不能同时发生 | 一次抽珠不可能同时红又蓝 |
需要注意
互斥通常不是独立。若 \(A\) 和 \(B\) 互斥，且它们本来都有可能发生，那么一旦知道 \(B\) 发生，\(A\) 的概率就变成 0，显然改变了。
3.6.5 用 Python 检查独立性¶
# 固定珠袋：硬币不改变袋子
p_head = 0.5
p_red = 0.4
p_red_given_head = 0.4
print("固定珠袋：")
print(f"P(红珠) = {p_red:.1f}")
print(f"P(红珠 | 正面) = {p_red_given_head:.1f}")
print(f"是否独立：{p_red_given_head == p_red}")
# 硬币决定袋子：硬币会改变抽到红珠的概率
p_red_given_head = 0.8
p_red_given_tail = 0.2
p_red_total = p_head * p_red_given_head + (1 - p_head) * p_red_given_tail
print("\n硬币决定袋子：")
print(f"P(红珠) = {p_red_total:.1f}")
print(f"P(红珠 | 正面) = {p_red_given_head:.1f}")
print(f"是否独立：{p_red_given_head == p_red_total}")
这段代码只检查一件事：条件概率有没有改变。只要 \(P(红珠\mid 正面)\) 和 \(P(红珠)\) 不一样，就不能说独立。
小率的笔记本
- 独立的核心是 \(P(A\mid B)=P(A)\)。
- 等价写法是 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)。
- 独立性不是凭直觉判断，要看条件概率是否改变。
- 互斥是不能同时发生；独立是知道一个不改变另一个概率。
- 互斥事件只要本来都有可能发生，通常就不是独立事件。