3.2 样本空间与事件¶
雨还没下，小率和均哥先在咖啡桌上玩起桌游。规则很简单：同时掷两枚骰子，如果点数和大于 8，就前进两格；如果至少有一枚骰子是 6，就拿一张道具卡。
小率拿起笔就想算：“点数和大于 8 的概率是多少？”
均哥把骰子按在桌上：“概率题的第一步不是找公式，而是先把所有可能结果摆清楚。地图都没画，就急着找路线，很容易迷路。”
这一节我们只盯住这个桌游骰子场景。两枚骰子、36 个格子、几个事件，就足够把样本空间、事件、并集、交集和补集讲清楚。
3.2.1 先把所有可能结果摆出来¶
同时掷两枚骰子时，第一枚可能是 1 到 6，第二枚也可能是 1 到 6。每个结果可以写成一个有序对：
这里的“有序”很重要。\((2,5)\) 表示第一枚是 2、第二枚是 5；\((5,2)\) 表示第一枚是 5、第二枚是 2。它们点数和都等于 7，但在掷两枚骰子的过程中是两个不同结果。
所有可能结果放在一起，就叫 样本空间（Sample Space），常记作 \(\Omega\)。
两枚骰子一共有：
个可能结果。
3.2.2 事件就是地图上的一块区域¶
事件（Event） 是样本空间里的一个子集。桌游规则里自然出现了几个事件：
- \(A\)：点数和大于 8，可以前进两格。
- \(B\)：至少有一枚骰子是 6，可以拿道具卡。
- \(C\)：两枚骰子点数相同，也就是掷出对子。
如果每个格子等可能，那么事件概率就可以先用最朴素的方法算：
点数和大于 8 的结果有：
| 点数和 | 结果 |
|---|---|
| 9 | \((3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\) |
| 10 | \((4,6),(5,5),(6,4)\) |
| 11 | \((5,6),(6,5)\) |
| 12 | \((6,6)\) |
所以一共有 10 个结果：
你知道吗
样本空间不一定总能靠数格子。测量“明天最高气温”时，可能结果不是 1、2、3 这种离散格子，而是一段连续数值。后面学习随机变量和分布时，我们会把“数格子”升级成“看面积”。
3.2.3 “至少一个”通常比“恰好一个”更宽¶
桌游规则里的 \(B\) 是“至少有一枚骰子是 6”。这句话容易被读错。
“至少一枚是 6”包括三类情况：
- 第一枚是 6，第二枚不是 6。
- 第二枚是 6，第一枚不是 6。
- 两枚都是 6。
把结果列出来：
一共有 11 个结果，所以：
如果题目说“恰好一枚是 6”，那就要去掉 \((6,6)\)，只剩 10 个结果。一个字的差别，事件就变了。
需要注意
“至少一个”“恰好一个”“两个都是”“一个都没有”是四个不同事件。概率题里最常见的错误之一，就是中文读得太快，事件写错了。
3.2.4 “或”“且”“不”其实是集合运算¶
现在看两个事件：
- \(A\)：点数和大于 8。
- \(B\)：至少有一枚骰子是 6。
日常语言里的“或”“且”“不”，在概率里要翻译成集合语言：
| 日常说法 | 数学写法 | 含义 |
|---|---|---|
| A 或 B | \(A\cup B\) | 至少一个发生 |
| A 且 B | \(A\cap B\) | 两个同时发生 |
| 不 A | \(A^c\) | A 没有发生 |
最常用的是容斥公式：
它的意思很朴素：先把 A 和 B 都加起来，但重叠部分被数了两次，所以要减掉一次。
在桌游里，\(A\cap B\) 表示“点数和大于 8，而且至少有一枚 6”。这些结果是：
共有 7 个。于是：
3.2.5 用 Python 把格子数一遍¶
outcomes = [(i, j) for i in range(1, 7) for j in range(1, 7)]
A = {o for o in outcomes if sum(o) > 8}
B = {o for o in outcomes if 6 in o}
C = {o for o in outcomes if o[0] == o[1]}
print(f"全部结果数：{len(outcomes)}")
print(f"点数和大于 8 的结果数：{len(A)}")
print(f"至少一枚是 6 的结果数：{len(B)}")
print(f"A 和 B 同时发生的结果数：{len(A & B)}")
print(f"A 或 B 发生的概率：{len(A | B) / len(outcomes):.3f}")
print(f"掷出对子的概率：{len(C) / len(outcomes):.3f}")
这段代码没有使用复杂技巧，只是在做一件事：把 36 个格子列出来，再按事件条件筛选。初学概率时，这种“先枚举，再筛选”的方式非常好用。
小率的笔记本
- 样本空间 \(\Omega\) 是所有可能结果的集合。
- 事件 \(A\) 是样本空间里的一块区域。
- 等可能有限样本空间里，概率可以用“事件结果数 / 全部结果数”计算。
- “至少一个”和“恰好一个”不是一回事。
- 看到“或”，先问有没有重叠；有重叠就用容斥公式。