2.4 均值¶
小率在新闻里看到“城市平均月薪破万”，可妈妈办公室里没人拿到这个数。他把这条新闻拿给均哥看。均哥的第一反应不是算公式，而是问：平均值真的能代表大多数人吗？
均哥说，均值不是一个单独的按钮，而是一组选择。不同问题要选不同的“平均”。
2.4.1 平均值真的能代表大多数人吗¶
晚上吃饭，小率刷着手机。
均哥在记事本上写：
| 员工 | 月薪（元） |
|---|---|
| 9 位同事 | 6 000 |
| 1 位老板 | 1 000 000 |
这也是学习均值时最重要的一句话：均值不是“把数据讲完”的万能答案，而是“用一个中心位置概括数据”的一种方式。它特别擅长回答总量分摊问题，比如一家公司总薪酬平均分到每位员工、一个部门总奖金平均分到每个人。
但如果你想知道“普通人通常拿多少工资”，均值就不一定是最合适的代表。它用了所有人的工资，也就会被少数特别高的工资影响。
2.4.2 把均值想成「数据的重心」¶
均哥不急着写公式，先在便签上画了一根数轴，把每个数据点想象成**重量相同**的小球，挂在数轴上。问：把一根杠杆放在这条数轴下面，**唯一**能让杠杆平衡的支点在哪？
那个位置，就是算术平均值。
下面的交互图把这个直觉做成了可拖拽的实物：你可以把任意一个小球拉到任何位置， 橙色支点 会自动跟着移动。
2.4.3 算术平均值¶
均哥的写作习惯是先写中文版，再换字母：
记数据是 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，"加起来"用大写希腊字母 \(\Sigma\)（读作 sigma）表示，得到 样本均值（sample mean） ：
如果数据来自整个总体，我们用希腊字母 \(\mu\)（读作 mu）表示 总体均值（population mean） ：
即 \(\bar{x}\) 对应 \(\mu\)，\(s\) 对应 \(\sigma\)。这套命名是后续抽样、估计、检验的基石——必须分清"手上这一组数据的平均"和"想推断的整体平均"。
为了让公式不只是公式，我们继续用月薪小例子手算一遍。小率从新闻附带的样本说明里摘出 5 位应届生的月薪：
| 受访者 | 月薪（元） |
|---|---|
| A | 5 000 |
| B | 6 000 |
| C | 6 500 |
| D | 7 500 |
| E | 25 000 |
先把所有月薪加起来：
再除以 5 位受访者：
所以这 5 位受访者的平均月薪是 10 000 元。这个 10 000 元不是说每个人都拿到 10 000 元，而是说如果把 50 000 元总月薪平均分摊给 5 个人，每人就是 10 000 元。
性质一 ：所有数据到均值的偏差之和为零
性质二 ：所有数据到均值的**平方偏差和最小**——任何其他位置都会让"距离平方和"变大
2.4.4 极端值与稳健性¶
直观结论：
| 数据形态 | 均值是否可靠 | 推荐使用 |
|---|---|---|
| 对称、无离群点 （同岗位基础工资） | ✅ | 算术平均 |
| 右偏 + 长尾 （工资、房价、点击数） | ❌ | 中位数 / 截尾均值 |
| 乘法叠加 （投资收益、增长率） | ❌ | 几何平均（见 §2.4.5） |
| 等量除以速率 （平均速度、调和率） | ❌ | 调和平均（见 §2.4.6） |
2.4.5 加权平均值¶
把每个数据 \(x_i\) 配一个 权重 （weight）\(w_i\)：
把字母翻成中文：
当所有权重相等时，加权平均就退化成算术平均。
| 课程 | 学分 \(w_i\) | 绩点 \(x_i\) |
|---|---|---|
| 高等数学 | 5 | 3.7 |
| 大学英语 | 3 | 4.0 |
| 体育 | 1 | 3.0 |
| 普通生物学 | 4 | 3.5 |
简单平均会得到 3.55， 低估 了高数和生物两门重课的贡献。
所以权重出处必须写进报告——否则你的数据看起来精确，其实只是把一个偏见包装成了百分制分数。
加权平均最容易被滥用的地方，正是“权重看起来很客观”。比如把求职岗位做综合评分：薪资 40%、通勤 20%、成长空间 25%、稳定性 15%。这个总分当然能算，但权重本身已经表达了评价者的偏好。对急需收入的人来说，薪资权重可能更高；对正在积累经验的人来说，成长空间权重可能更高。
权重不是装饰
只要用了加权平均，就要说明权重从哪里来。权重可以来自学分、样本占比、业务重要性或专家判断，但不能偷偷藏在公式里。
2.4.6 几何平均值¶
为什么会差？因为收益率不是相加，而是相乘：
要找一个"等价的恒定年化收益率" \(G\)，应满足
这正是 几何平均（geometric mean） ：
代入：\(G = \sqrt[3]{1.254} \approx 1.0784\)，对应年化收益 \(\approx 7.84\%\)，复利三年正好回到 125.4 元。
AM-GM 不等式：几何平均永远 ≤ 算术平均¶
对任何一组 正数 ，恒有
所以任何带波动的乘法过程，几何平均一定低于算术平均。这也是金融业"年化收益率"必须用几何平均的原因。
- 投资收益、复利、人口增长率、通胀率
- 比率的"平均"：市盈率、生物学倍数变化（fold change）
- 任何 乘法叠加 的指标
2.4.7 调和平均值¶
设上下坡各 15 km：
- 上坡用时 \(15 / 10 = 1.5\) 小时
- 下坡用时 \(15 / 30 = 0.5\) 小时
- 总路程 \(30\) km，总时间 \(2\) 小时
- 平均速度 \(= 30 / 2 = 15\) km/h
正确答案是 15 ，不是 20。
调和平均（harmonic mean） ：
中文版：
代入小率的例子：\(H = \dfrac{2}{\frac{1}{10} + \frac{1}{30}} = \dfrac{2}{4/30} = 15\)。
三大平均的不等式链¶
对任意正数集合：
差距大小直接告诉你数据"散得有多狠"——三者越接近，数据越均匀。
| 场景 | 为什么用调和平均 |
|---|---|
| 等距离不同速度的平均速度 | 时间是路程除以速度，要对 速率求平均 |
| 几台机器并行处理同一批任务 | 总产能取决于"单位时间产出"的倒数关系 |
| F1 分数（精确率与召回率的调和平均） | 任何一个低，整体都低；惩罚短板 |
| 平均市盈率 | 每元盈利对应的价格，倒数关系 |
2.4.8 截尾均值¶
把数据排序后，对称地**砍掉两端各 \(p\%\) 的数据，再对剩下的部分求算术平均，就得到了 \(p\%\) **截尾均值（trimmed mean）。常见的 \(p\) 是 5%、10%、25%。
回到工资数据：100 人里去掉收入最高的 5 人和最低的 5 人，剩下的 90 人均值大约是 7.0 千元，远比未截尾的 10.6 千元贴近"普通员工"的真实水平。
2.4.9 用 numpy/scipy 算五种均值¶
import numpy as np
from scipy import stats
x = np.array([6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 1000]) # 9 个员工 + 1 个老板, 单位: 千元
# 算术平均
print("算术平均:", x.mean()) # 105.4
# 中位数（虽然不是均值，但常一起报告）
print("中位数 :", np.median(x)) # 6.0
# 加权平均（假设最后一位老板权重 0.1, 其余各 1）
w = np.r_[np.ones(9), 0.1]
print("加权平均:", np.average(x, weights=w)) # ≈ 16.7
# 几何平均（数据需为正）
print("几何平均:", stats.gmean(x)) # ≈ 11.84
# 调和平均
print("调和平均:", stats.hmean(x)) # ≈ 6.66
# 10% 截尾均值
print("截尾均值:", stats.trim_mean(x, 0.1)) # 6.0
np.mean / np.median 看主体，再换 gmean / hmean / trim_mean 验真。
真实分析工作里常会先把均值、中位数和稳健均值放在一起看，目的就是揪出被极端值、乘法过程或速率结构骗住的均值。
完整版脚本（含本节三张图的复现）：docs/assets/scripts/ch02_descriptive/04_mean.py
你知道吗
1934 年，经济学家 Simon Kuznets 受美国国会委托做出第一份国民收入估算——这是"人均 GDP"作为政策指标的起点。Kuznets 后来因此拿了 1971 年的诺贝尔经济学奖，但他自己一直警告：
"一个国家的福利几乎不可能从一个国民收入指标推断出来。"
他指的就是 均值掩盖分布 的问题。九十多年过去了，新闻头条还在用"人均 GDP / 平均工资"刷屏，而读者依然会被搞糊涂。所以"看到平均，先问分布"这条规矩，从一开始就刻在统计学的基因里。
小率的笔记本
- 算术平均是数据的重心，简单、可加，有“偏差和为零”和“最小平方距离”两条好性质，但对极端值高度敏感。
- 加权平均把不同重要性的数据加权求和，权重往往来自业务判断，必须公开。
- 几何平均适用于乘法叠加过程，例如投资收益和增长率，且不大于算术平均。
- 调和平均适用于速率或倒数结构，例如平均速度、效率和 F1。
- 截尾均值通过砍掉两端极端值，保留分布主体趋势。
- 数据近似对称时用算术平均；偏态或有离群点时优先考虑中位数或截尾均值；增长过程看几何平均；速率过程看调和平均。