7.1 假设检验的思想¶
暑假里，小率把一张生活实践作业拿来找均哥：社区团购的盒装牛奶标着“净含量 250 mL”，他随机买了 10 盒，用量杯一盒盒倒出来，平均只有 247 mL。
| 牛奶编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 容量（mL） | 246 | 249 | 248 | 247 | 245 | ... |
这 3 mL 的差距，到底是测量和抽样带来的小波动，还是灌装机真的偏少？假设检验要回答的不是“真实平均值是多少”，而是：
如果厂家说的 250 mL 真的没问题，现在这组样本会不会显得太反常？
7.1.1 先保护一个默认说法¶
假设检验一开始不会直接相信“牛奶少了”。它先保护一个默认说法，叫 原假设（Null Hypothesis）：
意思是：灌装机没有系统性偏少，真实平均容量仍然是 250 mL。
小率真正怀疑的是另一件事，叫 备择假设（Alternative Hypothesis）：
意思是：真实平均容量小于 250 mL。
为什么不直接证明 H1
因为我们通常能计算的是“如果 \(H_0\) 为真，样本会怎样波动”。先设定一个参考世界，再看当前数据在这个参考世界里是否罕见，这就是假设检验的基本反证法。
7.1.2 五步走完一次检验¶
假设检验可以压缩成五步：
- 写出 \(H_0\) 与 \(H_1\)。
- 假设 \(H_0\) 为真，确定统计量应该怎样分布。
- 把样本结果换成检验统计量。
- 计算 p 值，或比较临界值。
- 根据预先设定的显著性水平 \(\alpha\) 做决定。
以牛奶为例，若我们知道灌装过程长期标准差约为 \(\sigma=5\) mL，抽样 \(n=10\)，样本均值 \(\bar x=247\)，就可以把“少 3 mL”换成：
它的意思不是“少了 1.90 mL”，而是：
样本均值比 250 mL 低了约 1.90 个标准误。
7.1.3 p 值回答“有多罕见”¶
p 值（p-value）问的是：
如果 p 值很小，说明当前数据在 \(H_0\) 世界里很罕见，\(H_0\) 就站不太住。
不拒绝不等于证明正确
若 p 值不小，我们只能说“证据不足以反驳 \(H_0\)”。这不等于证明 \(H_0\) 正确，也不等于证明牛奶一定足量。
7.1.4 单侧和双侧取决于问题¶
备择假设决定拒绝域在哪边。
| 问法 | 备择假设 | 检验方向 |
|---|---|---|
| 是否偏少 | \(H_1:\mu<250\) | 左侧检验 |
| 是否偏多 | \(H_1:\mu>250\) | 右侧检验 |
| 是否不等于标称值 | \(H_1:\mu\ne250\) | 双侧检验 |
如果小率在抽样前只关心“有没有少装”，左侧检验合理；如果他只是怀疑“标称值不准”，不管偏多偏少都算问题，就应该用双侧检验。
不要看完数据再选方向
先看到样本均值偏低，再把双侧改成左侧，会人为降低 p 值。检验方向必须在看主要结果前定好。
7.1.5 Python 走一遍牛奶检验¶
from scipy import stats
import math
mu0 = 250
xbar = 247
sigma = 5
n = 10
z = (xbar - mu0) / (sigma / math.sqrt(n))
p_left = stats.norm.cdf(z)
print(f"z = {z:.2f}")
print(f"左侧 p 值 = {p_left:.4f}")
print("决策:", "拒绝 H0" if p_left < 0.05 else "不拒绝 H0")
完整脚本见：
7.1.6 检验和置信区间是一枚硬币两面¶
若做双侧检验，显著性水平为 \(\alpha\)，那么：
在 \(\alpha\) 水平下不拒绝 \(H_0:\mu=\mu_0\)，等价于 \(\mu_0\) 落在 \(1-\alpha\) 的置信区间里。
所以报告中常同时给出：
- 点估计：样本均值是多少。
- 置信区间：合理范围有多宽。
- p 值：原假设下当前结果有多罕见。
小率的笔记本
假设检验先写 \(H_0\) 和 \(H_1\)，再假设 \(H_0\) 为真，计算当前数据是否罕见。p 值小，说明数据与 \(H_0\) 不合拍；p 值不小，只能说证据不足。检验方向要事先确定，不要看完数据再改。