5.4 中心极限定理¶

快递站里，包裹重量很不均匀：小件很多，偶尔有特别重的大箱子。小率担心这种右偏数据没法用正态分布。均哥说：单个包裹的重量确实不正态，但如果每次抽一批包裹算平均重量，平均值会慢慢长成钟形。

总体不正态，还能用正态近似吗

中心极限定理回答的是：在一定条件下，样本均值的分布会近似正态，而不是说原始数据本身会变正态。

5.4.1 先看形状：均值会变钟形¶

包裹重量这么偏，为什么平均值反而像钟形？

因为每个样本均值都是很多个独立波动的平均。高的和低的互相抵消，极端结果越来越少。

图 5.4.1 即使总体明显右偏，样本均值的抽样分布也会随着 n 增大而接近钟形。

5.4.2 再看宽度：样本量越大，均值越稳¶

样本均值的标准误差是：

\[ \mathrm{SE}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

这说明 $n$ 变大时，抽样分布会变窄。直觉上，每次多看一些包裹，平均重量就不容易被一两个极端包裹带跑。

图 5.4.2 SE 按 $1/\sqrt{n}$ 缩小，误差减半通常需要样本量变成 4 倍。

5.4.3 正式说法¶

如果 $X_1,\ldots,X_n$ 是独立同分布样本，且总体均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2<\infty$，那么当 $n$ 足够大时：

\[ \bar{X} \approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \]

等价地，标准化后：

\[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \approx N(0,1) \]

所以 CLT 给了我一把尺子：样本均值离总体均值几个 SE？

对。第 6 章置信区间、第 7 章假设检验都要用这把尺子。

5.4.4 n 多大才够¶

没有万能数字，但有经验：

总体形状	常见经验
接近对称、尾部不重	$n\ge 15$ 往往够用
中等偏态	$n\ge 30$ 常作为起点
极偏或重尾	可能需要 $n\ge 100$ 或更多
方差不存在	CLT 不适用

不是所有分布都能被 CLT 拯救

中心极限定理需要有限方差。像 Cauchy 分布这类没有均值和方差的重尾分布，样本均值不会按普通 CLT 变稳。

5.4.5 用 CLT 算一个概率¶

某快递站包裹重量的总体均值 $\mu=3.0$ kg，标准差 $\sigma=1.2$ kg。随机抽 64 个包裹，样本均值超过 3.3 kg 的概率大约是多少？

先算标准误差：

\[ \mathrm{SE}=\frac{1.2}{\sqrt{64}}=0.15 \]

再标准化：

\[ Z=\frac{3.3-3.0}{0.15}=2 \]

所以：

\[ P(\bar{X}>3.3)\approx P(Z>2)\approx 0.0228 \]

from math import sqrt
from scipy.stats import norm

mu = 3.0
sigma = 1.2
n = 64
threshold = 3.3

se = sigma / sqrt(n)
z = (threshold - mu) / se
prob = 1 - norm.cdf(z)

print(f"SE = {se:.2f}")
print(f"z = {z:.2f}")
print(f"P(样本均值 > {threshold}) ≈ {prob:.4f}")

小率的笔记本

CLT 说的是样本均值的分布近似正态，不是原始数据变正态。
样本量越大，抽样分布越窄，SE = $\sigma/\sqrt{n}$。
使用 CLT 时先检查独立性、样本量和方差是否有限。
标准化公式 $Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})$ 是后续推断的入口。

总体形状	常见经验
接近对称、尾部不重	\(n\ge 15\) 往往够用
中等偏态	\(n\ge 30\) 常作为起点
极偏或重尾	可能需要 \(n\ge 100\) 或更多
方差不存在	CLT 不适用