4.4 期望¶
小率参加校园义卖抽奖：有的奖券得 0 元，有的得 5 元，有的得 20 元。单次抽奖当然不稳定，但如果抽很多很多次，每次平均能拿多少钱？这就是期望要回答的问题。
| 奖金 \(x\) | 概率 \(P(X=x)\) |
|---|---|
| 0 元 | 0.50 |
| 5 元 | 0.35 |
| 20 元 | 0.15 |
4.4.1 长期平均怎么算出来¶
如果我只抽一次，肯定不是 4.75 元这种小数吧？
对。期望不是单次预测，它是长期平均。
把每个奖金乘上它出现的概率，再加起来：
\[
0\times0.50+5\times0.35+20\times0.15=4.75
\]
这表示如果同样规则重复很多次，平均每次奖金会靠近 4.75 元。
4.4.2 期望是概率分布的重心¶
所以概率越大的值，对重心影响越大。
没错。期望就是加权平均，只是权重来自概率。
离散随机变量的期望定义为：
\[
E[X]=\sum_x xP(X=x)
\]
连续随机变量的期望把求和换成积分：
\[
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx
\]
4.4.3 函数的期望¶
有时我们不关心 \(X\) 本身，而关心 \(g(X)\)。例如抽到奖金以后还要交手续费，或者收益变成收益率。
离散情形：
\[
E[g(X)]=\sum_x g(x)P(X=x)
\]
连续情形：
\[
E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)\,dx
\]
不要把函数直接套到期望上
一般来说，\(E[g(X)]\ne g(E[X])\)。先变换再平均，和先平均再变换，通常不是一回事。
4.4.4 期望的线性性¶
期望最常用、也最稳的一条性质是线性性：
\[
E[aX+b]=aE[X]+b
\]
两个随机变量相加时：
\[
E[X+Y]=E[X]+E[Y]
\]
这条性质不要求 \(X\) 与 \(Y\) 独立。
不独立也能相加？
期望可以。方差就没这么轻松，下一节会看到相关性会影响波动。
4.4.5 大数定律：平均会靠近哪里¶
大数定律（Law of Large Numbers）说：在条件合适时，重复次数越来越多，样本平均会越来越靠近期望。
\[
\bar{X}_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\longrightarrow E[X]
\]
你知道吗
赌场、保险和抽样调查都离不开这个思想：单次结果很不稳定，但大量重复后的平均会变得可预测。
4.4.6 用模拟看长期平均¶
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)
prizes = np.array([0, 5, 20])
probs = np.array([0.50, 0.35, 0.15])
draws = rng.choice(prizes, size=10000, p=probs)
print(f"理论期望 = {np.sum(prizes * probs):.2f}")
print(f"模拟平均 = {draws.mean():.2f}")
模拟平均不一定刚好等于理论期望，但会在附近晃。
对，这就是随机性和长期规律同时存在。
小率的笔记本
- 期望是长期平均，也是概率分布的重心。
- 离散期望是“取值 × 概率”再求和。
- 连续期望把求和换成积分。
- 期望有线性性，\(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) 不要求独立。
- 大数定律解释了为什么长期平均会靠近期望。